Question

四邊形ABCD是⊙O的內接等腰梯形，AB為直徑，且AB=4．設∠BOC=θ，ABCD的周長為L．
（1）求周長L關于角θ的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；
（2）當角θ為何值時，周長L取得最大值？并求出其最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由三角形中的正弦定理得到BC=4sin

θ

2

．再由直角三角形中的邊角關系求得DC=4cosθ．
則周長L關于角θ的函數(shù)解析式可求，并結合實際意義求得函數(shù)的定義域；
（2）把L=4+8sin

θ

2

+4cosθ化為關于sin

θ

2

的二次函數(shù)，利用配方法求得當sin

θ

2

=

1

2

，即θ=

π

3

時，周長L取得最大值10．

解答： 解：（1）由題意可知，

BC

sinθ

=

2

sin( π 2 - θ 2 )

，BC=4sin

θ

2

．
sin(

π

2

-θ)=

1 2 DC

2

，DC=4cosθ．
∴周長L關于角θ的函數(shù)解析式為：L=4+2BC+DC=4+8sin

θ

2

+4cosθ（0＜θ＜

π

2

）；
（2）由L=4+8sin

θ

2

+4cosθ
=4+8sin

θ

2

+4(1-2sin2

θ

2

)=-8(sin2

θ

2

-sin

θ

2

-1)．
當sin

θ

2

=

1

2

，即

θ

2

=

π

6

，θ=

π

3

時，L_max=10．
∴當θ=

π

3

時，周長L取得最大值10．

點評：本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了與三角函數(shù)有關的函數(shù)最值的求法，是中檔題．