Question

15．已知直線l：y=kx+1，橢圓C：x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（1）求證：直線1與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）若k=2，求直線l被橢圓C截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）直接聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由判別式大于0證得結(jié)論；
（2）把k=2代入（1）中的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到直線l被橢圓C截得的弦的兩個(gè)端點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，代入弦長(zhǎng)公式得答案．

解答 （1）證明：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（4+k²）x²+2kx-3=0 ①．
∵△=（2k）²-4×（4+k²）×（-3）=16k²+48＞0，
∴直線1與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）解：當(dāng)k=2時(shí)，①可化為8x²+4x-3=0，
設(shè)直線l被橢圓C截得的線段的兩端點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{1}{2}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{3}{8}$．
∴直線l被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{1+{2}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{5}\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+4×\frac{3}{8}}=\frac{\sqrt{35}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．