Question

函數(shù)f（x）=

a

3

x³-

1

2

x²+ax+1（a∈R）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=2處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）已知不等式f′（x）＞x²+x-a對(duì)任意a∈（0，+∞）都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得：f′（x）=ax²-x+a，由于函數(shù)f（x）在x=2時(shí)取得極值，可得
f′（2）=0．解出并驗(yàn)證即可．
（II） 方法一：由題設(shè)知：ax²-x+a＞x²+x-a對(duì)任意a∈（0，+∞）都成立．
?a（x²+2）-x²-2x＞0對(duì)任意a∈（0，+∞）都成立．設(shè) g（a）=a（x²+2）-x²-2x（a∈R），則對(duì)任意x∈R，g（a）為單調(diào)遞增函數(shù)（a∈R），利用一次函數(shù)的單調(diào)性可得g（0）≥0，解出即可．
方法二：由題設(shè)知：ax²-x+a＞x²+x-a，對(duì)任意a∈（0，+∞）都成立，
?a（x²+2）-x²-2x＞0對(duì)任意a∈（0，+∞）都成立，分離參數(shù)可得：a＞

x2+2x

x2+2

對(duì)任意a∈（0，+∞）都成立，即

x2+2x

x2+2

≤0，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=ax²-x+a，
由于函數(shù)f（x）在x=2時(shí)取得極值，
∴f′（2）=0．
即 4a-2+a=0，解得a=

2

5

，
此時(shí)f′（x）在x=2兩邊異號(hào)，f（x）在x=2處取得極值．
（Ⅱ） 方法一：由題設(shè)知：ax²-x+a＞x²+x-a對(duì)任意a∈（0，+∞）都成立．
即a（x²+2）-x²-2x＞0對(duì)任意a∈（0，+∞）都成立．
設(shè) g（a）=a（x²+2）-x²-2x（a∈R），則對(duì)任意x∈R，g（a）為單調(diào)遞增函數(shù)（a∈R），
∴對(duì)任意a∈（0，+∞），g（a）＞0恒成立的充分必要條件是g（0）≥0，
即-x²-2x≥0，∴-2≤x≤0，
于是x的取值范圍是{x|-2≤x≤0}．
方法二：由題設(shè)知：ax²-x+a＞x²+x-a，對(duì)任意a∈（0，+∞）都成立，
即a（x²+2）-x²-2x＞0對(duì)任意a∈（0，+∞）都成立
于是a＞

x2+2x

x2+2

對(duì)任意a∈（0，+∞）都成立，即

x2+2x

x2+2

≤0，
∴-2≤x≤0，于是x的取值范圍是{x|-2≤x≤0}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了分離參數(shù)法、一次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．