Question

函數f（x）=

a

3

x³-

1

2

x²+ax+1（a∈R）的導函數為f′（x）．
（Ⅰ）若函數f（x）在x=2處取得極值，求實數a的值；
（Ⅱ）已知不等式f′（x）＞x²+x-a對任意a∈（0，+∞）都成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）利用導數的運算法則可得：f′（x）=ax²-x+a，由于函數f（x）在x=2時取得極值，可得
f′（2）=0．解出并驗證即可．
（II） 方法一：由題設知：ax²-x+a＞x²+x-a對任意a∈（0，+∞）都成立．
?a（x²+2）-x²-2x＞0對任意a∈（0，+∞）都成立．設 g（a）=a（x²+2）-x²-2x（a∈R），則對任意x∈R，g（a）為單調遞增函數（a∈R），利用一次函數的單調性可得g（0）≥0，解出即可．
方法二：由題設知：ax²-x+a＞x²+x-a，對任意a∈（0，+∞）都成立，
?a（x²+2）-x²-2x＞0對任意a∈（0，+∞）都成立，分離參數可得：a＞

x2+2x

x2+2

對任意a∈（0，+∞）都成立，即

x2+2x

x2+2

≤0，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=ax²-x+a，
由于函數f（x）在x=2時取得極值，
∴f′（2）=0．
即 4a-2+a=0，解得a=

2

5

，
此時f′（x）在x=2兩邊異號，f（x）在x=2處取得極值．
（Ⅱ） 方法一：由題設知：ax²-x+a＞x²+x-a對任意a∈（0，+∞）都成立．
即a（x²+2）-x²-2x＞0對任意a∈（0，+∞）都成立．
設 g（a）=a（x²+2）-x²-2x（a∈R），則對任意x∈R，g（a）為單調遞增函數（a∈R），
∴對任意a∈（0，+∞），g（a）＞0恒成立的充分必要條件是g（0）≥0，
即-x²-2x≥0，∴-2≤x≤0，
于是x的取值范圍是{x|-2≤x≤0}．
方法二：由題設知：ax²-x+a＞x²+x-a，對任意a∈（0，+∞）都成立，
即a（x²+2）-x²-2x＞0對任意a∈（0，+∞）都成立
于是a＞

x2+2x

x2+2

對任意a∈（0，+∞）都成立，即

x2+2x

x2+2

≤0，
∴-2≤x≤0，于是x的取值范圍是{x|-2≤x≤0}．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了分離參數法、一次函數的單調性、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．