Question

8．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和s_n=2a_n+（-1）ⁿ（n∈N^*）．
（1）寫(xiě)出數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)a₁，a₂，a₃．
（2）求通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

分析 （1）直接由數(shù)列遞推式求得數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)a₁，a₂，a₃；
（2）由數(shù)列遞推式可得${s}_{n-1}=2{a}_{n-1}+（-1）^{n-1}$（n≥2），與源深路遞推式作差后可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}=（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．然后利用累加法求得通項(xiàng)公式a_n．

解答 解：（1）由s_n=2a_n+（-1）ⁿ（n∈N^*）．
取n=1，可得a₁=1，
a₁+a₂=2a₂+1，a₂=a₁-1=0，
a₁+a₂+a₃=2a₃-1，a₃=a₁+a₂+1=2；
（2）由s_n=2a_n+（-1）ⁿ，得${s}_{n-1}=2{a}_{n-1}+（-1）^{n-1}$（n≥2）．
兩式作差可得：${a}_{n}=2{a}_{n}-2{a}_{n-1}-2•（-1）^{n-1}$，
即${a}_{n}-2{a}_{n-1}=2•（-1）^{n-1}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}=（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．則
$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}-\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}=-\frac{1}{2}$，
$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}-\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}=\frac{1}{{2}^{2}}$，
$\frac{{a}_{4}}{{2}^{4}}-\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}=-\frac{1}{{2}^{3}}$，
…
$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}=（-\frac{1}{2}）^{n-1}$（n≥2）．
累加得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}+\frac{-\frac{1}{2}[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]$．
∴${a}_{n}=\frac{{2}^{n-1}-2（-1）^{n}}{3}$．
驗(yàn)證n=1時(shí)上式成立，
∴${a}_{n}=\frac{{2}^{n-1}-2（-1）^{n}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．