Question

18．已知f（x）=ax²-bx+3
（1）若a=-2，b=5，求f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）＜2x的解集是（-3，-1），求a，b；
（3）若b=-1，當x∈R，f（x）＞a恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a，b的值代入，解不等式即可；
（2）問題轉化為-3，-1是方程ax²-（b+2）x+3=0的根，根據根與系數的關系解出即可；
（3）問題等價于ax²+x+3-a＞0在R恒成立，結合二次函數的性質求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=-2，b=5時：f（x）=-2x²-5x+3≥0，
即2x²+5x-3≤0，解得：-3≤x≤$\frac{1}{2}$，
故不等式的解集是[-3，$\frac{1}{2}$]；
（2）f（x）＜2x的解集是（-3，-1），
即ax²-（b+2）x+3＜0的解集是（-3，-1），
即-3，-1是方程ax²-（b+2）x+3=0的根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4=\frac{b+2}{a}}\\{3=\frac{3}{a}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-6}\end{array}\right.$；
（3）b=-1時：x∈R，f（x）＞a恒成立，
即：ax²+x+3-a＞0在R恒成立，
故$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-4a（3-a）＜0}\end{array}\right.$，
解得：0＜a＜$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了函數恒成立問題，考查二次函數的性質以及解不等式問題，是一道中檔題．