Question

3．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一個焦點到一條漸近線的距離不大于$\frac{{\sqrt{5}}}{3}c$（c為雙曲線的半焦距長），則雙曲線離心率的取值范圍為（　�。�

• A． $[\frac{{3\sqrt{5}}}{2}，+∞）$
• B． $（1，\frac{3}{2}]$
• C． $（1，\frac{{3\sqrt{5}}}{2}]$
• D． $[\frac{3}{2}，+∞）$

Answer 1

分析 設(shè)出雙曲線的一個焦點和漸近線方程，運用點到直線的距離公式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，以及離心率公式計算即可得到所求范圍．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一個焦點為（c，0），
一條漸近線為y=$\frac{a}$x，即為bx-ay=0，
由題意可得$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b≤$\frac{{\sqrt{5}}}{3}c$，
即有b²≤$\frac{5}{9}$c²，即c²-a²≤$\frac{5}{9}$c²，
即為c≤$\frac{3}{2}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{3}{2}$，
可得1＜e≤$\frac{3}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運用焦點到漸近線的距離為虛半軸長，以及離心率公式，考查運算能力，屬于中檔題．