Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（2ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）在x=$\frac{π}{3}$處取得極大值2，其圖象與x軸相鄰兩個交點的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）-$\sqrt{3}$≥0的解集；
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來得$\frac{1}{2}$，再把所得到的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位長度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{12}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由圖象與x軸的相鄰兩個交點的距離為$\frac{π}{2}$，可得周期，從而得ω=1，由函數(shù)在x=$\frac{π}{3}$處取得最大值2，得出A=2，φ=-$\frac{π}{6}$，得出解析式
（2）根據(jù)性質(zhì)得出sin（2x-$\frac{π}{6}$）$≥\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用三角函數(shù)得出$\frac{π}{3}$+2kπ≤2x$-\frac{π}{6}$≤$\frac{2π}{3}$+2kπ，k∈z，
（3）利用三角變換得出h（x）=2sin[4（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=2sin（4x+$\frac{π}{2}$）=2cos（4x），$-\frac{2π}{3}$≤4x≤$\frac{π}{3}$，利用余弦函數(shù)性質(zhì)求解即可．

解答 解：（1）∵其圖象與x軸相鄰兩個交點的距離為$\frac{π}{2}$．
∴可得周期T=π，即ω=1，
∵由函數(shù)在x=$\frac{π}{3}$處取得最大值2，其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）
∴得出A=2，φ=-$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）
（2）∵f（x）-$\sqrt{3}$≥0，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）$≥\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即$\frac{π}{3}$+2kπ≤2x$-\frac{π}{6}$≤$\frac{2π}{3}$+2kπ，k∈z，
∴$\frac{π}{4}$+kπ≤x≤$\frac{5}{12}$+kπ，k∈z
解集：{x|$\frac{π}{4}$+kπ≤x≤$\frac{5}{12}$+kπ，k∈z}
（3）f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）
∵函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來得$\frac{1}{2}$，
∴g（x）=2sin（4x-$\frac{π}{6}$），
∵把所得到的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位長度
∴h（x）=2sin[4（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=2sin（4x+$\frac{π}{2}$）=2cos（4x），
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{12}$]，
∴$-\frac{2π}{3}$≤4x≤$\frac{π}{3}$，
∴-$\frac{1}{2}$≤cos4x≤1，-1≤y≤2
∴值域為：[-1，2]

點評 本題綜合考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，不等式，圖象的變換，屬于綜合題目，需要學(xué)生對于知識的綜合運用較熟練，但是難度不大．