Question

20．已知橢圓C：$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直線y=b與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△MON的面積為 $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l （斜率存在且不為零）與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B，$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{PB}$且$\overrightarrow{OA}$+$λ\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OP}$，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）∵離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$c=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，既有$^{2}=\frac{1}{2}{a}^{2}$，∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2^{2}}=1$，把y=b代入橢圓方程得${x}^{2}=\frac{1}{2}^{2}$，求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線l得方程為y=kx+m，然后直線與橢圓聯(lián)立方程，求得相關(guān)結(jié)論．

解答 解：（1）∵離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$c=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，既有$^{2}=\frac{1}{2}{a}^{2}$，∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2^{2}}=1$，把y=b代入橢圓方程得${x}^{2}=\frac{1}{2}^{2}$，
∴$x=±\frac{\sqrt{2}}{2}b$，則|MN|=$\sqrt{2}b$，
∴${S}_{△MON}=\frac{1}{2}b\sqrt{2}b=\frac{\sqrt{2}}{2}$得b²=1，
∴{a²=2，a²=2，既有橢圓C得方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）由$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PB}$得$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=λ（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}）∴（1+λ）\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB}$，
又$\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{OP}$，∴1+λ=4⇒λ=3；
設(shè)直線l得方程為y=kx+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{y}^{2}+2{x}^{2}=2}\end{array}\right.$消去y得（k²+2）x²+2kmx+m²-2=0，
∴△=（2km）²-4（k²+2）（m²-2）=4（2k²-2m²+4）＞0，由此得k²＞m²-2①
設(shè)l與橢圓C的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2km}{{k}^{2}+2}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}-2}{{k}^{2}+2}$，
由$\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$得-x₁=3x₂，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-2{x}_{2}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-3{x}_{2}^{2}}\end{array}\right.$，整理得$3（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+4{x}_{1}{x}_{2}=0$，
∴$3（-\frac{2km}{{k}^{2}+2}）^{2}+4\frac{{m}^{2}-2}{{k}^{2}+2}=0$，整理得（4m²-2）k²=4-2m²，即（2m²-1）k²=2-m²，
∵${m}^{2}=\frac{1}{2}$時(shí)，上式成立，∴${m}^{2}≠\frac{1}{2}，{k}^{2}=\frac{2-{m}^{2}}{2{m}^{2}-1}$②
由①②式可得$\frac{2-{m}^{2}}{2{m}^{2}-1}＞{m}^{2}-2$?$（{m}^{2}-2）（1+\frac{1}{2{m}^{2}-1}）＜0$，
$-\sqrt{2}＜m＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$，或$\frac{\sqrt{2}}{2}＜m＜\sqrt{2}$，
∴實(shí)數(shù)m得取值范圍是（$-\sqrt{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}$）$∪（\frac{\sqrt{2}}{2}，\sqrt{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題注意考查圓錐曲線方程得求法和直線與圓錐曲線聯(lián)立解決相關(guān)問(wèn)題的方法，在高考中屬于難題．