Question

11．已知圓心為C（-2，6）的圓經(jīng)過點(diǎn)M（0，6-2$\sqrt{3}$）
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l過點(diǎn)P（0，5）且被圓C截得的線段長為4$\sqrt{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求得圓的半徑，則圓的方程可得．
（2）先看當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，與圓的方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理和弦長公式建立等式求得k．則直線的方程可得．最后看斜率不存在時(shí)，進(jìn)而驗(yàn)證．

解答 解：（1）圓C的半徑為|CM|=$\sqrt{（0+2）^{2}+（6-2\sqrt{3}-6）^{2}}=4$，
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）²+（y-6）²=16．
（2）當(dāng)所求直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線的方程為y=kx+5，即kx-y+5=0．
聯(lián)立直線與圓C的方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+5}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+4x-12y+24=0}\end{array}\right.$，
消去y得（1+k²）x²+（4-2k）x-11=0       ①
設(shè)方程①的兩根為x₁，x₂，由根與系數(shù)的關(guān)系得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2k-4}{1+{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{11}{1+{k}^{2}}}\end{array}\right.$         ②
由弦長公式得$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=4$\sqrt{3}$    ③
將②式代入③，并解得k=$\frac{3}{4}$，此時(shí)直線l的方程為3x-4y+20=0．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=0，
驗(yàn)算得方程為x=0的直線也滿足題意．
∴所求直線l的方程為3x-4y+20=0或x=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓的方程問題．解題過程中對(duì)直線斜率不存在的情況一定不要疏漏．