Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知∠α的頂點(diǎn)為原點(diǎn)O，其始邊與x軸正方向重合，終邊過(guò)兩曲線(xiàn)y=$\sqrt{x+3}$和y=$\sqrt{1-x}$的交點(diǎn)，則cos2α+cot（$\frac{3π}{2}$+α）=-$\frac{1}{3}$+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由條件求得∠α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-1，$\sqrt{2}$），利用任意角的三角函數(shù)的定義求得cosα、sinα、tanα的值，再利用二倍角的余弦公式、誘導(dǎo)公式，求得要求式子的值．

解答 解：∵兩曲線(xiàn)y=$\sqrt{x+3}$和y=$\sqrt{1-x}$的交點(diǎn)為P（-1，$\sqrt{2}$），故∠α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-1，$\sqrt{2}$），
故cosα=$\frac{-1}{\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinα=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，tanα=-$\sqrt{2}$，
∴cos2α+cot（$\frac{3π}{2}$+α）=2cos²α-1-tanα=2•$\frac{1}{3}$-1+$\sqrt{2}$=-$\frac{1}{3}$+$\sqrt{2}$，
故答案為：-$\frac{1}{3}$+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，二倍角公式的余弦公式，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．