Question

20．已知函數f（x）=x²-2x+5，$x∈[-2，\frac{1}{2}]$．
（1）是否存在實數m，使不等式m+f（x）＞0對于x∈[-2，$\frac{1}{2}$]恒成立，并說明理由；
（2）若至少存在一個實數x₀，使不等式m-f（x₀）＞0成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式m+f（x）＞0可化為m＞-f（x），求出右邊的最大值，即可求得m的范圍；
（2）m-f（x₀）＞0可化為m＞f（x₀），求出右邊的最小值，即可求實數m的取值范圍

解答 解：（1）函數f（x）=x²-2x=5=（x-1）²+4，
函數f（x）在定義域$x∈[-2，\frac{1}{2}]$上是減函數，$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{2}）=\frac{17}{4}$，
函數f（x）在定義域$x∈[-2，\frac{1}{2}]$恒大于等于$\frac{17}{4}$．實數m使不等式m＞-f（x）對于任意x∈R恒成立，
則m＞-$\frac{17}{4}$恒成立，所以m＞-$\frac{17}{4}$．
（2）若存在一個實數x₀，使不等式m-f（x₀）＞0成立，
由（1）得，m＞$\frac{17}{4}$，所以m＞$\frac{17}{4}$，實數m的取值范圍為{m|m＞$\frac{17}{4}$}．

點評 本題考查恒成立問題，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．