Question

20．已知平面向量$\overrightarrow a=（3，2）$，$\overrightarrow b=（-1，2）$，$\overrightarrow c=（4，1）$．
（1）求滿足$\overrightarrow a=m\overrightarrow b+n\overrightarrow c$的實數m，n；
（2）若$（{\overrightarrow a+k\overrightarrow c}）⊥（{2\overrightarrow b-\overrightarrow a}）$，求實數k的值．

Answer 1

分析 （1）由題意和向量的坐標運算，以及向量的相等的條件列出方程，即可求出m，n的值，
（2）由題意和向量的坐標運算，以及向量的垂直的條件列出方程，即可求出k的值

解答 解：（1）∵m$\overrightarrow$=（-m，2m），n$\overrightarrow{c}$=（4n，n），
∴m$\overrightarrow$+n$\overrightarrow{c}$=（4n-m，2m+n）
∵$\overrightarrow a=（3，2）$=m$\overrightarrow$+n$\overrightarrow{c}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4n-m=3}\\{2m+n=2}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{5}{9}$，n=$\frac{8}{9}$；
（2）∵$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$=（3+4k，2+k），2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$=（-5，2），
∵$（{\overrightarrow a+k\overrightarrow c}）⊥（{2\overrightarrow b-\overrightarrow a}）$，
∴-5×（3+4k）+2×2（2+k）=0，
∴k=-$\frac{11}{18}$

點評 本題考查了向量的坐標運算以及向量的共線個向量的垂直，屬于基礎題