Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=a^x+b^x+c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0，若a，b，c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，則下列結(jié)論正確的是（　�。�
①對(duì)任意x∈（-∞，1），都有f（x）＜0；
②存在x∈R，使a^x，b^x，c^x不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)；
③若△ABC為鈍角三角形，存在x∈（1，2），使f（x）=0．

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 在①中，對(duì)任意x∈（-∞，1），都有f（x）＞0；在②中，a²=4，b²=9，c²=16不能構(gòu)成三角形；在③中，若△ABC為鈍角三角形，則a²+b²-c²＜0，根據(jù)根的存在性定理可知在區(qū)間（1，2）上存在零點(diǎn)，即?x∈（1，2），使f（x）=0．

解答 解：在①中，∵a，b，c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，∴a+b＞c，
∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴0＜$\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{c}$＜1，
當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f（x）=a^x+b^x-c^x=cx[（$\frac{a}{c}$）x+（$\frac{c}$）x-1]
＞cx?（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$-1）=cx?$\frac{a+b-c}{a}$＞0，故①錯(cuò)誤．
在②中，令a=2，b=3，c=4，則a．b．c可以構(gòu)成三角形，
但a²=4，b²=9，c²=16卻不能構(gòu)成三角形，故②正確．
在③中，∵c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC為鈍角三角形，∴a²+b²-c²＜0，
∵f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0，
∴根據(jù)根的存在性定理可知在區(qū)間（1，2）上存在零點(diǎn)，即?x∈（1，2），使f（x）=0，故③正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假睥判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)、根的存在性定理的合理運(yùn)用．