Question

17．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖，P是圖象的最高點，Q為圖象與x軸的交點，O為原點，且P點坐標為（$\frac{1}{2}$，1），|$\overrightarrow{OQ}$|=2．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)y=f（x）圖象向右平移1個單位后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，當x∈[0，2]時，求函數(shù)h（x）=f（x）•g（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)圖象，求出A，ω和φ的值即可，
（2）根據(jù)函數(shù)的圖象變換關(guān)系求出g（x），利用兩角和差的正弦公式以及輔助角公式將函數(shù)進行化簡求解即可．

解答 解：（1）∵P點坐標為（$\frac{1}{2}$，1），|$\overrightarrow{OQ}$|=2，
∴A=1，T=$\frac{2π}{ω}$=4（2-$\frac{1}{2}$）=6，
則ω=$\frac{π}{3}$，則f（x）=sin（$\frac{π}{3}$x+φ），
由f（$\frac{1}{2}$）=sin（$\frac{π}{6}$+φ）=1，
由0＜φ＜$\frac{π}{2}$得$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，
得φ=$\frac{π}{3}$，
得f（x）=sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{3}$）．
（2）將函數(shù)y=f（x）圖象向右平移1個單位后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，則g（x）=sin$\frac{π}{3}$x，
則h（x）=f（x）•g（x）=sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$x=$\frac{1}{2}$sin²$\frac{π}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{3}$xcos$\frac{π}{3}$x
=$\frac{1-cos\frac{2π}{3}x}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin$\frac{2π}{3}$x=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{2π}{3}$x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$
x∈[0，2]時，$\frac{2π}{3}$x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴當$\frac{2π}{3}$x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=1時，函數(shù)取得最大值此時h（x）的最大值為$\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解以及三角函數(shù)的恒等變換，利用輔助角公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．