Question

5．以平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，在極坐標(biāo)系中曲線C的極坐標(biāo)方程為 ρ²=$\frac{4（1{+tan}^{2}θ）}{1-ta{n}^{2}θ}$．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）過極點的射線l₁：θ=α（ρ＞0，-$\frac{π}{4}$＜α＜0）與曲線C交于點A，射線l₁繞極點逆時針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{4}$得到射線l₂，射線l₂與曲線C交于點B，求|OA|•|OB|的最小值，以及此時點A的一個極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （I）在極坐標(biāo)系中曲線C的極坐標(biāo)方程為 ρ²=$\frac{4（1{+tan}^{2}θ）}{1-ta{n}^{2}θ}$=$\frac{4（1+\frac{si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}）}{1-\frac{si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}}$，化為：ρ²（cos²θ-sin²θ）=4，利用互化公式即可得出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）過極點的射線l₁：θ=α（ρ＞0，-$\frac{π}{4}$＜α＜0），可得：$0＜α+\frac{π}{4}＜\frac{π}{4}$，可設(shè)：A（ρ₁，θ），B$（{ρ}_{2}，θ+\frac{π}{4}）$．
代入曲線C的直角坐標(biāo)方程x²-y²=4．可得：$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{1}^{2}（co{s}^{2}θ-si{n}^{2}θ）=4}\\{{ρ}_{2}^{2}[co{s}^{2}（θ+\frac{π}{4}）-si{n}^{2}（θ+\frac{π}{4}）]=4}\end{array}\right.$，利用倍角公式及其同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得$\frac{16}{{ρ}_{1}^{4}}$+$\frac{16}{{ρ}_{2}^{4}}$=1，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（I）在極坐標(biāo)系中曲線C的極坐標(biāo)方程為 ρ²=$\frac{4（1{+tan}^{2}θ）}{1-ta{n}^{2}θ}$=$\frac{4（1+\frac{si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}）}{1-\frac{si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}}$=$\frac{4}{co{s}^{2}θ-si{n}^{2}θ}$，
化為：ρ²（cos²θ-sin²θ）=4，
可得：曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²-y²=4．
（Ⅱ）過極點的射線l₁：θ=α（ρ＞0，-$\frac{π}{4}$＜α＜0），可得：$0＜α+\frac{π}{4}＜\frac{π}{4}$，
可設(shè)：A（ρ₁，θ），B$（{ρ}_{2}，θ+\frac{π}{4}）$．
代入曲線C的直角坐標(biāo)方程x²-y²=4．可得：$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{1}^{2}（co{s}^{2}θ-si{n}^{2}θ）=4}\\{{ρ}_{2}^{2}[co{s}^{2}（θ+\frac{π}{4}）-si{n}^{2}（θ+\frac{π}{4}）]=4}\end{array}\right.$，
分別化為：cos2θ=cos²θ-sin²θ=$\frac{4}{{ρ}_{1}^{2}}$，-sin2θ=$\frac{4}{{ρ}_{2}^{2}}$．
∴$\frac{16}{{ρ}_{1}^{4}}$+$\frac{16}{{ρ}_{2}^{4}}$=1≥2$\sqrt{\frac{16}{{ρ}_{1}^{4}}×\frac{16}{{ρ}_{2}^{4}}}$，化為：${ρ}_{1}^{2}•{ρ}_{2}^{2}$≥4$\sqrt{2}$，∴ρ₁•ρ₂≥2$\root{4}{2}$．
∴|OA|•|OB|的最小值為2$\root{4}{2}$，以及此時點A的一個極坐標(biāo)A$（2\root{4}{2}，-\frac{π}{8}）$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角標(biāo)準(zhǔn)方程、倍角公式及其同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．