Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記.

（1）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)，都有；

（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立?若存在，找出一個(gè)正整數(shù);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）不存在，理由見解析

【解析】

（1）利用可得數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而可得；

（2）通過放縮可得，再按照和兩種情況分別證明即可；

（3）通過放縮得到，再分為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況討論即可得到答案.

（1）令，得，得，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

所以,.

（2）由得

，

又，

當(dāng)時(shí)，，所以，

當(dāng)時(shí)，

，

∴對(duì)任意正整數(shù)都有.

（3），，

，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，

所以存在正整數(shù)，使得成立.