Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-\frac{1}{2}）x，x≥2}\\{{a}^{x}-4，x＜2}\end{array}\right.$滿足對任意的實數(shù)x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （1，2]
• B． （$\frac{13}{4}$，2]
• C． （1，3]
• D． （$\frac{13}{4}$，3]

Answer 1

分析 對任意的實數(shù)x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，則函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-\frac{1}{2}）x，x≥2}\\{{a}^{x}-4，x＜2}\end{array}\right.$為增函數(shù)，故$\left\{\begin{array}{l}a-\frac{1}{2}＞0\\ a＞1\\{a}^{2}-4≤2（a-\frac{1}{2}）\end{array}\right.$．解得實數(shù)a的取值范圍

解答 解：若對任意的實數(shù)x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，
則函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-\frac{1}{2}）x，x≥2}\\{{a}^{x}-4，x＜2}\end{array}\right.$為增函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}a-\frac{1}{2}＞0\\ a＞1\\{a}^{2}-4≤2（a-\frac{1}{2}）\end{array}\right.$．
解得：a∈（1，3]，
故選：C

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，分段函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．