Question

已知定義域?yàn)椋?，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），若對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f[f(x)+log

1

2

x]=3，則方程f（x）=2-x³的解的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：計(jì)算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，f（x）-log₂x=c（c為常數(shù)）；從而代入求f（x），從而化方程f（x）=2-x³的解的個(gè)數(shù)為函數(shù)y=-x³與y=log₂x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而求解．

解答： 解：由題意，
∵對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f[f(x)+log

1

2

x]=3，
且f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)；
故f（x）-log₂x=c（c為常數(shù)）；
故f（x）=log₂x+c；
故f（c）=3=log₂c+c；
故c=2；
則方程f（x）=2-x³可化為
log₂x=-x³；
作函數(shù)y=-x³與y=log₂x的圖象如下，

僅有一個(gè)交點(diǎn)，故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了方程的根與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．