【題目】已知橢圓 (a>b>0)的右焦點F(1,0),離心率為 ,過F作兩條互相垂直的弦AB,CD,設(shè)AB,CD的中點分別為M,N.

(1)求橢圓的方程;
(2)證明:直線MN必過定點,并求出此定點坐標;
(3)若弦AB,CD的斜率均存在,求△FMN面積的最大值.

【答案】
(1)解:由題意:c=1, = ,

∴a= ,b=c=1,

則橢圓的方程為 +y2=1


(2)證明:∵AB,CD斜率均存在,

∴設(shè)直線AB方程為:y=k(x﹣1),

再設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有M( ,k( ﹣1)),

聯(lián)立得: ,

消去y得:(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,

,即M( ),

將上式中的k換成﹣ ,同理可得:N( , ),

= ,解得:k=±1,直線MN斜率不存在,

此時直線MN過點( ,0);

下證動直線MN過定點P( ,0),

若直線MN斜率存在,則kMN= = = × ,

直線MN為y﹣ = × (x﹣ ),

令y=0,得x= + × = × = ,

綜上,直線MN過定點( ,0)


(3)解:由第(2)問可知直線MN過定點P( ,0),

故SFMN=SFPM+SFPN= × | |+ × | = × ,

令t=|k|+ ∈[2,+∞),SFMN=f(t)= × = ×

∴f(t)在t∈[2,+∞)單調(diào)遞減,

當(dāng)t=2時,f(t)取得最大值,即SFMN最大值 ,此時k=±1.


【解析】(1)根據(jù)題意確定出c與e的值,利用離心率公式求出a的值,進而求出b的值,確定出橢圓方程即可;(2)由直線AB與CD向量存在,設(shè)為k,表示出AB方程,設(shè)出A與B坐標,進而表示出M坐標,聯(lián)立直線AB與橢圓方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出M,同理表示出N,根據(jù)M與N橫坐標相同求出k的值,得到此時MN斜率不存在,直線MN恒過定點;若直線MN斜率存在,表示出直線MN斜率,進而表示出直線MN,令y=0,求出x的值,得到直線MN恒過定點,綜上,得到直線MN恒過定點,求出定點坐標即可;(3)根據(jù)P坐標,得到OP的長,由OF﹣OP表示出PF長,三角形MNF面積等于三角形PMF面積加上三角形PNF面積,利用基本不等式求出面積的最大值即可.

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