Question

2．已知$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow$|=5，|$\overrightarrow{c}$|=7．
（1）求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ；
（2）是否存在實(shí)數(shù)λ，使λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$共線？
（3）是否存在實(shí)數(shù)μ，使μ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$垂直？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積，求出向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$共線，列方程求出λ的值；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)μ，使μ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$垂直，列出方程求出μ的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，∴-$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，
∴${\overrightarrow{c}}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$；
又|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow$|=5，|$\overrightarrow{c}$|=7，
∴49=9+2×3×5×cosθ+25；
解得cosθ=$\frac{1}{2}$；
又θ∈[0，π]，
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ=$\frac{π}{3}$；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$共線，
即λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=x（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$），x∈R；
∴λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=x$\overrightarrow{a}$-2x$\overrightarrow$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=x}\\{1=-2x}\end{array}\right.$，
解得λ=x=-$\frac{1}{2}$；
∴存在實(shí)數(shù)λ=-$\frac{1}{2}$，使λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$共線；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)μ，使μ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$垂直，則
（μ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=0，
∴μ${\overrightarrow{a}}^{2}$-2μ$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2${\overrightarrow}^{2}$=0，
即9μ-2μ×3×5×$\frac{1}{2}$+3×5×$\frac{1}{2}$-2×25=0，
解得μ=-$\frac{85}{12}$；
∴存在μ=-$\frac{85}{12}$，使μ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$垂直．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與運(yùn)算問題，也考查了平行與垂直的應(yīng)用問題，是綜合題．