Question

14．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的焦點和上頂點分別為F₁、F₂、B，定義：△F₁BF₂為橢圓C的“特征三角形”，如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，那么稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比，已知點$F（{\sqrt{3}，0}）$是橢圓${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的一個焦點，且C₁上任意一點到它的兩焦點的距離之和為4．
（1）若橢圓C₂與橢圓C₁相似，且C₂與C₁的相似比為2：1，求橢圓C₂的方程；
（2）已知點P（m，n）（mn≠0）是橢圓C₁上的任意一點，若點Q是直線y=nx與拋物線${x^2}=\frac{1}{mn}y$異于原點的交點，證明：點Q一定在雙曲線4x²-4y²=1上；
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C₁相似且短半軸長為b的橢圓為C_b，是否存在正方形ABCD，（設其面積為S），使得A、C在直線l上，B、D在曲線C_b上？若存在，求出函數S=f（b）的解析式及定義域；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意c=$\sqrt{3}$，a=2，則b²=a²-c²=1，即可求得橢圓C₁的方程，根據相似比2，a₂=4；b₂=2，即可求得橢圓C₂的方程；
（2）由題設條件知$\frac{{m}^{2}}{4}+{n}^{2}=1$，設點Q（x₀，y₀），由題設條件能推出$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{1}{m}}\\{{y}_{0}=\frac{n}{m}}\end{array}\right.$，即可求得$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=n{x}_{0}}\\{{x}_{0}^{2}=\frac{1}{mn}{y}_{0}}\end{array}\right.$，即可求得4x²-4y²=1；
（3）橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，相似比為b，則橢圓C_b的方程，由題意：只需C_b上存在兩點B、D關于直線y=x+1對稱即可．設BD：y=-x+m，代入橢圓方程，設BD中點為E（x₀，y₀），然后利用根與系數的關系進行求解．

解答 解：（1）橢圓的一個焦點為$F（{\sqrt{3}，0}）$，|PF₁|+|PF₂|=2a=4，
∴b²=a²-c²=1，則橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
設C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{_{2}^{2}}=1$，相似比為2，a₂=4；b₂=2，
∴橢圓C₂：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）證明：點P（m，n）在橢圓上，則$\frac{{m}^{2}}{4}+{n}^{2}=1$，設點Q（x₀，y₀），
$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=n{x}_{0}}\\{{x}_{0}^{2}=\frac{1}{mn}{y}_{0}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{1}{m}}\\{{y}_{0}=\frac{n}{m}}\end{array}\right.$，
∴4x₀²-4y₀²=$\frac{4}{{m}^{2}}$-$\frac{4{n}^{2}}{{m}^{2}}$=$\frac{4（1-{n}^{2}）}{{m}^{2}}$=$\frac{4×\frac{{m}^{2}}{4}}{{m}^{2}}$=1，
∴點Q在雙曲線4x²-4y²=1上
（3）橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，相似比為b，則橢圓C_b的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
由題意：只需C_b上存在兩點B、D關于直線y=x+1對稱即可
設BD：y=-x+m，設BD中點為E（x₀，y₀），B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4^{2}}\end{array}\right.$，5x²-8mx+4m²-4b²=0，
△=64m²-16×5×（m²-b²）＞0，5b²＞m²，
由韋達定理知：x₀=$\frac{4m}{5}$，y₀=-x₀+m=$\frac{1}{5}$m，
E（x₀，y₀）在直線y=x+1上，
則$\frac{1}{5}$m=$\frac{4m}{5}$+1
解得：m=-$\frac{5}{3}$，∴b²＞$\frac{9}{5}$，則b＞$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
此時正方形的邊長為$\frac{丨BD丨}{\sqrt{2}}$，
∴正方形的面積為S=f（b）=（$\frac{丨BD丨}{\sqrt{2}}$）²，
丨BD丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$$\sqrt{5^{2}-\frac{25}{9}}$，
∴函數S=f（b）的解析式：$f（b）=\frac{16}{5}{b^2}-\frac{16}{9}$，定義域為$b＞\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題考查橢圓的性質，直線與橢圓的位置關系，綜合考查橢圓的性質及其綜合應用，難度較大，解題時要認真審題，仔細解答，避免出現不必要的錯誤，屬于中檔題．