Question

已知a為實數，函數f（x）=（x²+1）（x+a）．
（1）若f′（-1）=0，求函數y=f（x）的單調區(qū)間及極值；
（2）若函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的概念及應用,導數的綜合應用,直線與圓

分析：（1）求出導數，由條件可得a=2，再由導數大于0，可得增區(qū)間，導數小于0，可得減區(qū)間，進而得到極值；
（2）若函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，即為f′（x）=0有解，運用二次方程的判別式不小于0，解得即可．

解答： 解：（1）函數f（x）=（x²+1）（x+a）的導數為
f′（x）=2x（x+a）+x²+1=3x²+2ax+1，
若f′（-1）=0，則3-2a+1=0，解得a=2，
f（x）=（x²+1）（x+2），f′（x）=3x²+4x+1，
令f′（x）＞0，解得x＞-

1

3

或x＜-1；
令f′（x）＜0，解得-1＜x＜-

1

3

．
則函數y=f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，-1），（-

1

3

，+∞），
單調減區(qū)間為（-1，-

1

3

）；
即有在x=-1處，f（x）取得極大值（1+1）×（-1+2）=2，
x=-

1

3

處，f（x）取得極小值（1+

1

9

）×（-

1

3

+2）=

50

27

．
（2）若函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，即為
f′（x）=0有解，
即3x²+2ax+1=0有實數解，
則△≥0，即4a²-12≥0，
解得a≥

3

或a≤-

3

．
則a的取值范圍是（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）．

點評：本題考查導數的幾何意義：曲線在該點處切線的斜率，考查導數的運用：求單調區(qū)間和極值，運用二次不等式的解法和二次方程的判別式是解題的關鍵．