Question

已知過點(diǎn)（1，0）的直線與曲線y=x³和y=ax²+

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4

x-9都切于點(diǎn)M，求切點(diǎn)M的坐標(biāo)和a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線與圓

分析：設(shè)出所求切線方程的切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，把切點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程得到一個(gè)等式，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫出切線的方程，把切點(diǎn)坐標(biāo)代入又得到一個(gè)等式，聯(lián)立方程組即可求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到切線的斜率，根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)和求出的斜率寫出切線方程，再根據(jù)與y=ax²+

15

4

x-9都相切，聯(lián)立方程組，△=0可求出所求．

解答： 解：設(shè)直線與曲線y=x³的切點(diǎn)M坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則

y0=x03 y0 x0-1 =3x02

，則切線的斜率k=3x₀²=0或k=

27

4

，
若k=0，此時(shí)切線的方程為y=0，
由

y=0 y=ax2+ 15 4 x-9

，
消去y，可得ax²+

15

4

x-9=0，
其中△=0，即（

15

4

）²+36a=0，
解可得a=-

25

64

，切點(diǎn)M（

24

5

，0）；
若k=

27

4

，其切線方程為y=

27

4

（x-1），
由

y= 27 4 (x-1) y=ax2+ 15 4 x-9

，
消去y可得ax²-3x-

9

4

=0，
又由△=0，即9+9a=0，
解可得a=-1，切點(diǎn)M（-

3

2

，-

135

8

）．
綜上可得，a=-

25

64

，切點(diǎn)M（

24

5

，0）
和a=-1，切點(diǎn)M（-

3

2

，-

135

8

）．

點(diǎn)評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會根據(jù)一點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫出直線的方程，是一道綜合題．