Question

設函數(shù)f（x）=x²+2ax+3．
（1）關于x的不等式f（x）≥3a-1對一切x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）解關于x的不等式f（x）＜1；
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，

2

]上有零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）x²+2ax+3≥3a-1對一切x∈R恒成立，即x²+2ax+4-3a≥0，x∈R恒成立，所以（2a）²-4（4-3a）≤0，解得即可；
（2）對判別式討論大于0，等于0，小于0，再由二次不等式的解法，即可得到；
（3）要使函數(shù)在[-1，

2

]有零點，只需考慮a的符號和對稱軸的位置及端點的函數(shù)值的符號以及零點存在定理和運用，列出不等式組，解出即可得到范圍．

解答： 解：（1）由題意得，x²+2ax+3≥3a-1對一切x∈R恒成立，
即x²+2ax+4-3a≥0，x∈R恒成立，
所以（2a）²-4（4-3a）≤0，即a²+3a-4≤0，
解得，-4≤a≤1，
所以實數(shù)a的取值范圍-4≤a≤1；
（2）由f（x）＜1，得，x²+2ax+3＜1，
即x²+2ax+2＜0，
其中△=4a²-8，
當△=4a²-8≤0即-

2

≤a≤

2

時，不等式無實數(shù)解；
當△=4a²-8＞0，即a＞

2

或a＜-

2

時，
設x1=

-2a- 4(a2-2)

2

=-a-

a2-2

，x₂=-a+

a2-2

則x₁＜x＜x₂，
綜上所述，當-

2

≤a≤

2

時，不等式無解；
當a＜-

2

或a＞

2

時，不等式的解集為(-a-

a2-2

，-a+

a2-2

 )；
（3）要使函數(shù)f(x)=x2+2ax+3在區(qū)間上[-1，

2

]上有零點，須

△≥0 -1≤-a≤ 2 f( 2 )≥0 f(-1)≥0

或f(

2

)•f(-1)≤0，或△=4a²-12=0，即

△=4a2-12≥0 -1≤-a≤ 2 f(-1)=1-2a+3≥0 f( 2 )=2+2 2 a+3≥0

或(4-2a)(5+2

2

a)≤0，或a=±

3

，（不合題意）
解得，a≤-

5 2

4

或a≥2，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍（-∞，-

5 2

4

]∪[2，+∞）．

點評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和二次不等式的解法，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．