Question

已知雙曲線C的焦點為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），且離心率為2；
（Ⅰ）求雙曲線的標準方程；
（Ⅱ）若經過點M（1，3）的直線l交雙曲線C于A，B兩點，且M為AB的中點，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,雙曲線的標準方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）設出雙曲線方程，且c=2，再由離心率公式可得a=1，再由a，b，c的關系，可得b，進而得到雙曲線的方程；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運用點差法，求出直線AB的斜率，進而得到AB的方程，再聯(lián)立雙曲線方程，運用判別式檢驗即可．

解答： 解：（Ⅰ）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），且c=2，
由于離心率為2，即

c

a

=2，即a=1，
b=

c2-a2

=

3

，
則雙曲線方程為x²-

y2

3

=1；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x12-

y12

3

=1，x22-

y22

3

=1．兩式相減得，（x₁-x₂）（x₁+x₂）=

1

3

（y₁-y₂）（y₁+y₂），
由于M為AB的中點，則x₁+x₂=2，y₁+y₂=6，
得直線AB的斜率k_AB=

y1-y2

x1-x2

=1，
∴直線l的方程為y-3=x-1即y=x+2，代入方程x²-

y2

3

=1，
得2x²-4x-7=0，△=4²-4×2×（-7）=72＞0，
故所求的直線方程為y=x+2．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質，考查點差法求弦中點的問題，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．