Question

如圖所示,設P是拋物線C1:x2=y上的動點,過點P作圓C2:x2+(y+3)2=1的兩條切線,交直線l:y=-3于A、B兩點.

(1)求圓C2的圓心M到拋物線C1準線的距離;

(2)是否存在點P,使線段AB被拋物線C1在點P處的切線平分?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解:(1)因為拋物線C1的準線方程為y=-,

所以圓心M到拋物線C1的準線的距離為

=.

(2)設點P的坐標為(x0, ),拋物線C1在點P處的切線交直線l于點D.

再設A,B,D的橫坐標分別為xA,xB,xD,

過點P(x0, )的拋物線C1的切線方程為

y-=2x0(x-x0).①

當x0=1時,過點P(1,1)與圓C2相切的直線PA的方程為

y-1=(x-1).

可得xA=-,xB=1,xD=-1,xA+xB≠2xD.

當x0=-1時,過點P(-1,1)與圓C2相切的直線PB的方程為y-1=-(x+1),

可得xA=-1,xB=,xD=1,xA+xB≠2xD,

所以-1≠0.

設切線PA、PB的斜率為k1,k2,

則PA:y-=k1(x-x0),②

PB:y-=k2(x-x0),③

將y=-3分別代入①②③得

xD= (x0≠0),

xA=x0-,

xB=x0-(k1,k2≠0),

∴xA+xB=2x0-(+3)（+ ）.

又=1,

即(-1) -2(+3)x0k1+(+3)2-1=0.

同理,( -1)  -2(+3)x0k2+(+3)2-1=0.

∴k1、k2是方程(-1)k2-2(+3)x0k+(+3)2-1=0的兩個不相等的根,

從而k1+k2=,

k1·k2=.

因為xA+xB=2xD,

所以2x0-(3+)（+）=,

即+=.

從而=,

進而得=8,

所以x0=±.

綜上所述,存在點P滿足題意,點P的坐標為(±,2).