Question

6．已知數(shù)列{2n}的前n項(xiàng)和為a_n，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列b_n的通項(xiàng)公式為b_n=（n+1）（n-3），則b_nS_n的最小值為（　�。�

• A． -2
• B． -$\frac{9}{4}$
• C． -3
• D． -$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：a_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n²+n，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
∴b_nS_n=（n+1）（n-3）×$\frac{n}{n+1}$=n²-3n=$（n-\frac{3}{2}）^{2}-\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)n=1或2時(shí)，b_nS_n取得最小值為-2．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．