Question

1．已知f（x）=（x-x²）e^x，給出以下幾個(gè)結(jié)論：
①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜1}；
②f（x）既有極小值，又有極大值；
③f（x）沒有最小值，也沒有最大值；
④f（x）有最大值，沒有最小值．其中判斷正確的是①②④．

Answer 1

分析 解不等式f（x）＞0，判斷①，通過求導(dǎo)得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性，判斷②，結(jié)合②判斷③④即可．

解答 解：①由f（x）=（x-x²）e^x＞0，解得：0＜x＜1，
故①正確；
②由f′（x）=e^x（-x²-x+1），
令f′（x）＞0，解得：$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或x＜$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$），（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，+∞）遞減，在（$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）遞增，
∴f（x）_極小值=f（$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$），f（x）_極大值=f（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$），
故②正確；
③x→-∞時(shí)，f（x）→0，x→+∞時(shí)，f（x）→-∞，
∴f（x）_最大值=f（x）_極大值，沒有最小值，
故③錯誤，④正確，
故答案為：①②④．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．