Question

【題目】如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．

（Ⅰ）證明：AB1⊥平面A1B1C1；

（Ⅱ）求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析

（Ⅱ）

【解析】分析:方法一：（Ⅰ）通過計(jì)算，根據(jù)勾股定理得,再根據(jù)線面垂直的判定定理得結(jié)論，（Ⅱ）找出直線AC1與平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解.

方法二：（Ⅰ）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量之積為0得出,再根據(jù)線面垂直的判定定理得結(jié)論，（Ⅱ）根據(jù)方程組解出平面的一個(gè)法向量，然后利用與平面法向量的夾角的余弦公式及線面角與向量夾角的互余關(guān)系求解.

詳解：方法一：

（Ⅰ）由得，

所以.

故.

由， 得，

由得，

由，得，所以，故.

因此平面.

（Ⅱ）如圖，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連結(jié).

由平面得平面平面，

由得平面，

所以是與平面所成的角.學(xué)科.網(wǎng)

由得，

所以，故.

因此，直線與平面所成的角的正弦值是.

方法二：

（Ⅰ）如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

因此

由得.

由得.

所以平面.

（Ⅱ）設(shè)直線與平面所成的角為.

由（Ⅰ）可知

設(shè)平面的法向量.

由即可取.

所以.

因此，直線與平面所成的角的正弦值是.