Question

4．已知F為拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=12（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則△AFO與△BFO面積之和的最小值是2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 先設(shè)直線方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到一個一元二次方程，再利用韋達(dá)定理及$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=12消元，最后將面積之和表示出來，探求最值問題

解答 解：設(shè)直線AB的方程為：x=ty+m，點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB與x軸的交點(diǎn)為M（m，0），
x=ty+m代入y²=4x，可得y²-4ty-4m=0，根據(jù)韋達(dá)定理有y₁•y₂=-4m，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=12，∴x₁•x₂+y₁•y₂=12，從而（y₁•y₂）²+16y₁•y₂-12×16=0，
∵點(diǎn)A，B位于x軸的兩側(cè)，
∴y₁•y₂=-24，故m=6．
不妨令點(diǎn)A在x軸上方，則y₁＞0，又F（1，0），
∴S_△BFO+S_△AFO=$\frac{1}{2}×1×（{y}_{1}-{y}_{2}）$=$\frac{1}{2}（{y}_{1}+\frac{24}{{y}_{1}}）$$≥2\sqrt{6}$．
當(dāng)且僅當(dāng)y₁=$\frac{24}{{y}_{1}}$，即y₁=2$\sqrt{6}$時(shí)，取“=”號，
∴△BFO與△AFO面積之和的最小值是2$\sqrt{6}$．
故答案為：2$\sqrt{6}$

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與直線的位置關(guān)系，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．