Question

19．已知直線l與拋物線y²=8x交于A．B兩點(diǎn)，且線段AB恰好被點(diǎn)P（2，2）平分．
（1）求直線l的方程；
（2）拋物線上是否存在點(diǎn)C和D，使得C．D關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)？若存在，求出直線CD的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)差法，求出直線的斜率，即可求出直線l的方程；
（2）設(shè)直線CD的方程為x+2y+c=0，與拋物線聯(lián)立，可得y²+16y+8c=0，求出CD的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線l，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，y₁+y₂=4，
∵y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，∴4（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），∴k_AB=2，
∴直線l的方程為：y-2=2（x-2），化為2x-y-2=0．
（2）設(shè)直線CD的方程為x+2y+c=0，
與拋物線聯(lián)立，可得y²+16y+8c=0，
設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則y₃y₄=-8c，y₃+y₄=-16，
∴x₃+x₄=$\frac{1}{8}$（y₃²+y₄²）=32+2c，
∴CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為（16+c，-8）
代入2x-y-2=0，可得32+2c+8-2=0，
∴c=-19，
∴直線CD的方程為x+2y-19=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線與與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．