Question

已知過曲線C₁：x²=-4y上點（2，-1）的切線為l，圓C₂圓心為曲線C₁的焦點，圓C₂在直線l上截得的弦長為2

7

．
（1）求圓C₂的方程；
（2）設(shè)圓C₂與x軸、y軸正半軸分別交于點A，B，點C在曲線C₁上，求△ABC面積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：常規(guī)題型,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由焦點確定圓心，由弦長及圓心到直線的距離求半徑；（2）作圖可知，當平行于直線AB的直線與曲線C₁相切時，切點就是我們要找的C．

解答： 解：（1）C₁的焦點為（0，-1），則C₂（0，-1），
曲線C1：x2=-4y可化為y=-

x2

4

，
則y′=-

x

2

，
直線l斜率k=-1，則直線l方程為x+y-1=0，
圓心到直線l距離d=

2

2

=

2

，
∴r²=

2 2+ 7 2

=2+7=9，
則圓C₂的方程為x²+（y+1）²=9．
（2）由題意A(2

2

，0)，B(0，2)，
直線AB方程為

x

2 2

+

y

2

=1，
即x+

2

y-2

2

=0，
設(shè)與x+

2

y-2

2

=0平行的直線方程為x+

2

y+m=0，
由

x2=-4y x+ 2 y+m=0

消去y得，

2

x2-4x-4m=0，
由△=16+16

2

m=0得，
m=-

2

2

，
x+

2

y-2

2

=0與x+

2

y-

2

2

=0間距離d=

|-2 2 + 2 2 |

3

=

6

2

，
則△ABC面積的最小值為

1

2

|AB|•d=

1

2

×

8+4

×

6

2

=

3 2

2

．

點評：求圓的方程要根據(jù)條件選擇用標準方程還是一般式方程，本題因有圓心，故用標準方程，而求最小值時，要學會轉(zhuǎn)化，本題轉(zhuǎn)化為求相切．