Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-

1

ax

+1（a＞0，且a≠1）．
（1）求函數(shù)的定義域和值域；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）使函數(shù)f（x）有意義，顯然x∈R，所以f（x）的定義域?yàn)镽．令y=f（x），則能得到：a^2x+（1-y）a^x-1=0，可以把該方程看成關(guān)于a^x的一元二次方程，該方程有解，所以△=（1-y）²+4≥0，顯然該不等式的解是R，即y∈R，所以函數(shù)f（x）的值域是R；
（2）求f′（x），討論a即可判斷f′（x）的符號，從而判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答： 解：（1）使函數(shù)f（x）有意義，則x∈R，∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽；
令y=ax-

1

ax

+1，則整理成：a^2x+（1-y）a^x-1=0，可以把該方程看成關(guān)于a^x的一元二次方程，該方程有解，則：△=（1-y）²+4≥0，顯然對于任意y∈R，都有△≥0成立，∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽；
（2）f′（x）=axlna+

axlna

a2x

=lna(ax+

1

ax

)；
∴當(dāng)0＜a＜1時，lna＜0，f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞1時，lna＞0，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評：考查函數(shù)的定義域，值域的求法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法．