Question

已知一圓的方程為x²+y²-6x-8y=0，設(shè)該圓過點(diǎn)（3，5）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：由圓方程得：（x-3）²+（y-4）²=5²，圓心O（3，4），半徑r=5，AC長(zhǎng)為過點(diǎn)（3，5）和點(diǎn)O的圓的直徑d=2×5=10，BD應(yīng)與AC垂直，即與x軸平行，方程為：y=5，由此求出BD=3+2

6

-（3-2

6

）=4

6

，從而能求出四邊形ABCD的面積．

解答： 解：由圓方程得：（x-3）²+（y-4）²=5²，①
則圓心O（3，4），半徑r=5，
AC長(zhǎng)為過點(diǎn)（3，5）和點(diǎn)O的圓的直徑d=2×5=10，
k=

4-5

3-3

不存在，∴AC為垂直x軸的直線，
∴BD應(yīng)與AC垂直，即與x軸平行，方程為：y=5 ②
②代入①得：x²-6x-15=0，解是x=3±2

6

，
∴BD=3+2

6

-（3-2

6

）=4

6

，
則四邊形ABCD面積=AC•BD=5×4

6

=20

6

，
∴四邊形ABCD的面積：S_{四邊形ABCD}=20

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查四邊形的面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．