Question

5．已知命題甲：對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R，不等式$\frac{{a{x^2}-ax+3}}{{{x^2}-2x+2}}≥0$恒成立；命題乙：已知x，y∈R^*滿足x+y=xy+3=0，且a≤xy恒成立．
（1）分別求出甲、乙為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使命題甲、乙中有且只有一個(gè)真命題．

Answer 1

分析 （1）由x²-2x+2=（x-1）²+1＞0恒成立，可得$\frac{{a{x^2}-ax+3}}{{{x^2}-2x+2}}≥0$恒成立?ax²-ax+3≥0恒成立，對(duì)a分類可得滿足條件的a的范圍；由正數(shù)x，y，滿足x+y≥2$\sqrt{xy}$，xy=x+y+3，利用基本不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于$\sqrt{xy}$的不等式求得$\sqrt{xy}$的范圍，進(jìn)一步得到xy的最小值可得滿足條件的a的范圍；
（2）分別由甲為真命題，乙為假命題及甲為假命題，乙為真命題，結(jié)合補(bǔ)集、交集運(yùn)算求得答案．

解答 解：（1）∵x²-2x+2=（x-1）²+1＞0恒成立，
∴命題甲：對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R，不等式$\frac{{a{x^2}-ax+3}}{{{x^2}-2x+2}}≥0$恒成立?ax²-ax+3≥0恒成立，
當(dāng)a=0時(shí)，3＞0恒成立；
當(dāng)a≠0時(shí)，必有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-12a≤0}\end{array}\right.$，解得：0＜a≤12，
綜上，甲為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，12]；
∵正數(shù)x，y，滿足x+y≥2$\sqrt{xy}$，xy=x+y+3，
∴xy-2$\sqrt{xy}$-3≥0，
∴$\sqrt{xy}$≥3或$\sqrt{xy}$≤-1（舍去），
∴xy≥9，要使xy≥a恒成立，則a≤9．
∴a的取值范圍為（-∞，9]．
（2）若甲為真命題，則乙為假命題，則a∈[0，12]∩（9，+∞）=（9，12]；
若甲為假命題，則乙為真命題，則a∈{a|a＜0或a＞12}∩{a|a≤9}=（-∞，9]．
綜上，使命題甲、乙中有且只有一個(gè)真命題的a的范圍為（-∞，12]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了恒成立問(wèn)題的求法，屬中檔題．