Question

16．已知點P為圓x²+y²=4上一動點，過點P作x軸的垂線，垂足為Q（P與Q不重合），M為線段PQ中點．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）直線y=kx交（1）中軌跡C于A，B兩點，當直線MA，MB斜率K_MA，K_MB都存在時，求證：K_MA•K_MB為定值．

Answer 1

分析 （1）設點M坐標為（x，y），則點P坐標為（x，2y），點Q坐標為（x，0），因為點P在圓上，代入求解即可．
（2）設A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），再設M坐標為（x，y），求出直線MA，MB斜率K_MA，K_MB，利用${K_{MA}}•{K_{MB}}=\frac{{{y^2}-{y_0}^2}}{{{x^2}-{x_0}^2}}$，點M，A在橢圓C上，所以$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ \frac{{{x_0}^2}}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，利用平方差法轉化求解即可．

解答 解：（1）設點M坐標為（x，y），則點P坐標為（x，2y），點Q坐標為（x，0），因為點P在圓上，
所以x²+4y²=4，即$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
又P與Q不重合，所以y≠0，點M的軌跡C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1（{y≠0}）$；
（2）證明：因為直線y=kx過原點，所以A，B兩點關于原點對稱，不妨設其坐標為A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），再設M坐標為（x，y），則直線MA，MB斜率K_MA，K_MB分別為${K_{MA}}=\frac{{y-{y_0}}}{{x-{x_0}}}$，${K_{MB}}=\frac{{y+{y_0}}}{{x+{x_0}}}$，所以${K_{MA}}•{K_{MB}}=\frac{{{y^2}-{y_0}^2}}{{{x^2}-{x_0}^2}}$，
因為點M，A在橢圓C上，所以$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ \frac{{{x_0}^2}}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，
相減得$\frac{{{x^2}-{x_0}^2}}{4}+{y^2}-{y_0}^2=0$，整理得$\frac{{{y^2}-{y_0}^2}}{{{x^2}-{x_0}^2}}=-\frac{1}{4}$，即${K_{MA}}•{K_{MB}}=-\frac{1}{4}$，
所以K_MA•K_MB為定值，得證．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，橢圓方程的求法，平方差法的應用，考查轉化思想以及計算能力．