Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²-2x+t，g（x）=x²-t（t∈R）
（1）當x∈[2，3]時，求函數(shù)f（x）的值域（用t表示）
（2）設(shè)集合A={y|y=f（x），x∈[2，3]}，B={y|y=|g（x）|，x∈[2，3]}，是否存在正整數(shù)t，使得A∩B=A．若存在，請求出所有可能的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過配方求出f（x）的值域；
（2）求出集合A，通過討論t的范圍，求出集合B，解不等式求出t的值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=（x-1）²+t-1，x∈[2，3]，
對稱軸x=1，f（x）在[2，3]遞增，
∴x=2時，f（x）最小，f（2）=t，
x=3時，f（x）最大，f（3）=t+3，
∴f（x）的值域是[t，t+3]；
（2）由（1）得：A=[t，t+3]，B即為|g（x）|的值域，
∵A∩B=A，∴A⊆B，
∵g（x）=x²-t，x∈[2，3]，
假設(shè)存在正整數(shù)t符合要求，
①當1≤$\sqrt{t}$≤2時，即1≤t≤4時，
|g（x）|的值域是B=[4-t，9-t]，
由4-t≤t＜t+3≤9-t，
∴2≤t≤3，
∴t=2或3，
②當2＜$\sqrt{t}$＜3時，即4＜t＜9時：
|g（x）|的值域B=[0，M]，其中M=max{-f（2），f（3）}=max{t-4，9-t}，
顯然當4＜t＜9時，t+3＞t-4且t+3＞9-t，不符舍去，
③當$\sqrt{t}$≥3即t≥9時，
|g（x）|的值域是B=[t-9，t-4]，
由t-9≤t+3≤t-4，解集為空，
綜上t=2或3．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論思想，是一道中檔題．