Question

1．已知函數(shù)f（x）=me^x-lnx-1．
（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)m≥1時(shí)，證明：f（x）＞1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得m=1時(shí)，f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切點(diǎn)坐標(biāo)和切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得所求切線的方程；
（Ⅱ）證法一：運(yùn)用分析法證明，當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）=me^x-lnx-1≥e^x-lnx-1．要證明f（x）＞1，只需證明e^x-lnx-2＞0，思路1：設(shè)g（x）=e^x-lnx-2，求得導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得最小值，證明大于0即可；
思路2：先證明e^x≥x+1（x∈R），設(shè)h（x）=e^x-x-1，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值大于0；證明x-lnx-1≥0．設(shè)p（x）=x-lnx-1，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值大于0，即可得證；
思路3：先證明e^x-lnx＞2．：因?yàn)榍�線y=e^x與曲線y=lnx的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，求得兩曲線上的點(diǎn)的距離AB＞2，即可得證；
證法二：因?yàn)閒（x）=me^x-lnx-1，要證明f（x）＞1，只需證明me^x-lnx-2＞0．
思路1：設(shè)g（x）=me^x-lnx-2，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，求得最小值，證明大于0，即可得證；
思路2：先證明e^x≥x+1（x∈R），且lnx≤x+1（x＞0）．設(shè)F（x）=e^x-x-1，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值大于0，再證明me^x-lnx-2＞0，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 （Ⅰ）解：當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=e^x-lnx-1，
所以$f'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$．…（1分）
所以f（1）=e-1，f'（1）=e-1．…（2分）
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-（e-1）=（e-1）（x-1）．
即y=（e-1）x．…（3分）
（Ⅱ）證法一：當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）=me^x-lnx-1≥e^x-lnx-1．
要證明f（x）＞1，只需證明e^x-lnx-2＞0．…（4分）
以下給出三種思路證明e^x-lnx-2＞0．
思路1：設(shè)g（x）=e^x-lnx-2，則$g'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$．
設(shè)$h（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，則$h'（x）={e^x}+\frac{1}{x^2}＞0$，
所以函數(shù)h（x）=$g'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…（6分）
因?yàn)?g'（{\frac{1}{2}}）={e^{\frac{1}{2}}}-2＜0$，g'（1）=e-1＞0，
所以函數(shù)$g'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$在（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)x₀，且${x_0}∈（{\frac{1}{2}，1}）$．…（8分）
因?yàn)間'（x₀）=0時(shí)，所以${e^{x_0}}=\frac{1}{x_0}$，即lnx₀=-x₀．…（9分）
當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，g'（x）＜0；當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，g'（x）＞0．
所以當(dāng)x=x₀時(shí)，g（x）取得最小值g（x₀）．…（10分）
故$g（x）≥g（{x_0}）={e^{x_0}}-ln{x_0}-2=\frac{1}{x_0}+{x_0}-2＞0$．
綜上可知，當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）＞1．…（12分）
思路2：先證明e^x≥x+1（x∈R）．…（5分）
設(shè)h（x）=e^x-x-1，則h'（x）=e^x-1．
因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，h'（x）＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，h'（x）＞0，
所以當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．
所以h（x）≥h（0）=0．
所以e^x≥x+1（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)）．…（7分）
所以要證明e^x-lnx-2＞0，
只需證明（x+1）-lnx-2＞0．…（8分）
下面證明x-lnx-1≥0．
設(shè)p（x）=x-lnx-1，則$p'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，p'（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，p'（x）＞0，
所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，函數(shù)p（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)p（x）單調(diào)遞增．
所以p（x）≥p（1）=0．
所以x-lnx-1≥0（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)）．…（10分）
由于取等號(hào)的條件不同，
所以e^x-lnx-2＞0．
綜上可知，當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）＞1．…（12分）
（若考生先放縮lnx，或e^x、lnx同時(shí)放縮，請(qǐng)參考此思路給分�。�
思路3：先證明e^x-lnx＞2．
因?yàn)榍�線y=e^x與曲線y=lnx的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
設(shè)直線x=t（t＞0）與曲線y=e^x，y=lnx分別交于點(diǎn)A，B，
點(diǎn)A，B到直線y=x的距離分別為d₁，d₂，
則$AB=\sqrt{2}（{{d_1}+{d_2}}）$．
其中${d_1}=\frac{{{e^t}-t}}{{\sqrt{2}}}$，${d_2}=\frac{t-lnt}{{\sqrt{2}}}$（t＞0）．
①設(shè)h（t）=e^t-t（t＞0），則h'（t）=e^t-1．
因?yàn)閠＞0，所以h'（t）=e^t-1＞0．
所以h（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則h（t）＞h（0）=1．
所以${d_1}=\frac{{{e^t}-t}}{{\sqrt{2}}}＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
②設(shè)g（t）=t-lnt（t＞0），則$g'（t）=1-\frac{1}{t}=\frac{t-1}{t}$．
因?yàn)楫?dāng)0＜t＜1時(shí)，g'（t）＜0；當(dāng)t＞1時(shí)，g'（t）＞0，
所以當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g（t）=t-lnt單調(diào)遞減；當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）=t-lnt單調(diào)遞增．
所以g（t）≥g（1）=1．
所以${d_2}=\frac{t-lnt}{{\sqrt{2}}}≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
所以$AB=\sqrt{2}（{{d_1}+{d_2}}）＞\sqrt{2}（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）=2$．
綜上可知，當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）＞1．…（12分）
證法二：因?yàn)閒（x）=me^x-lnx-1，
要證明f（x）＞1，只需證明me^x-lnx-2＞0．…（4分）
以下給出兩種思路證明me^x-lnx-2＞0．
思路1：設(shè)g（x）=me^x-lnx-2，則$g'（x）=m{e^x}-\frac{1}{x}$．
設(shè)$h（x）=m{e^x}-\frac{1}{x}$，則$h'（x）=m{e^x}+\frac{1}{x^2}＞0$．
所以函數(shù)h（x）=$g'（x）=m{e^x}-\frac{1}{x}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…（6分）
因?yàn)?g'（{\frac{1}{2m}}）=m{e^{\frac{1}{2m}}}-2m=m（{{e^{\frac{1}{2m}}}-2}）＜0$，g'（1）=me-1＞0，
所以函數(shù)$g'（x）=m{e^x}-\frac{1}{x}$在（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)x₀，且${x_0}∈（{\frac{1}{2m}，1}）$．…（8分）
因?yàn)間'（x₀）=0，所以$m{e^{x_0}}=\frac{1}{x_0}$，即lnx₀=-x₀-lnm．…（9分）
當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，g'（x）＜0；當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，g'（x）＞0．
所以當(dāng)x=x₀時(shí)，g（x）取得最小值g（x₀）．…（10分）
故$g（x）≥g（{x_0}）=m{e^{x_0}}-ln{x_0}-2=\frac{1}{x_0}+{x_0}+lnm-2＞0$．
綜上可知，當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）＞1．…（12分）
思路2：先證明e^x≥x+1（x∈R），且lnx≤x+1（x＞0）．…（5分）
設(shè)F（x）=e^x-x-1，則F'（x）=e^x-1．
因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0，
所以F（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
所以當(dāng)x=0時(shí)，F(xiàn)（x）取得最小值F（0）=0．
所以F（x）≥F（0）=0，即e^x≥x+1（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)）．…（7分）
由e^x≥x+1（x∈R），得e^x-1≥x（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)）．…（8分）
所以lnx≤x-1（x＞0）（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)）．…（9分）
再證明me^x-lnx-2＞0．
因?yàn)閤＞0，m≥1，且e^x≥x+1與lnx≤x-1不同時(shí)取等號(hào)，
所以me^x-lnx-2＞m（x+1）-（x-1）-2=（m-1）（x+1）≥0．
綜上可知，當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）＞1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用不等式的傳遞性和構(gòu)造函數(shù)法，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題．