Question

16．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且bcosA=$\sqrt{3}$asinB．
（1）求角A的大�。�
（2）若a=1，cosB=$\frac{4}{5}$，求△ABC的面積S_△．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，由sinB不為0求出tanA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式可求sinB，由（1）可得sinA，cosA，結(jié)合兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC，利用正弦定理可求b，利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：（1）已知等式bcosA=$\sqrt{3}$asinB．可得$\sqrt{3}$asinB-bcosA=0，
利用正弦定理化簡(jiǎn)得：$\sqrt{3}$sinAsinB-sinBcosA=0，
∵sinB≠0，∴tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則A=30°；
（2）∵cosB=$\frac{4}{5}$，
∴sinB=$\frac{3}{5}$，
又∵cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinA=$\frac{1}{2}$，
∴sinC=sin（A+B）=$\frac{1}{2}×\frac{4}{5}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$，
∴由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{1×\frac{3}{5}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{6}{5}$，
∴△ABC的面積S_△=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×1×\frac{6}{5}×\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$=$\frac{12+9\sqrt{3}}{50}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，兩角和的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，熟練掌握公式及定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．