Question

已知點(diǎn)A（2，1），B（3，2），向量

AD

=（-3，3）．
（1）若四邊形ABCD為平行四邊形，求它的兩條對(duì)角線所成的銳角的余弦值；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是直線OB上的一點(diǎn)，當(dāng)

PA

•

PD

取得最小值時(shí)，求△PAD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

專(zhuān)題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）先求D點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量的夾角公求兩條對(duì)角線所成的銳角的余弦值；
（2）根據(jù)P是直線OB上的一點(diǎn)，用λ表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，

PA

•

PD

就可表示成關(guān)于λ的二次函數(shù)，當(dāng)

PA

•

PD

取得最小值時(shí)，求出λ的值，得出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出△PAD的面積．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)A（2，1），向量

AD

=（-3，3）
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4）
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴

AD

=

BC

，
設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），則

BC

=(a-3，b-2)
∴a-3=-3，b-2=3
解得：a=0，b=5
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）
∴

AC

=（-2，4），

BD

=（-4，2）
由向量的夾角公式得：cos＜

AC

，

BD

＞=

-2×(-4)+4×2

(-2)2+42 • (-4)2+22

=

4

5

，
∴兩條對(duì)角線所成的銳角的余弦值為

4

5

．
（2）∵P是直線OB上的一點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3λ，2λ）

PA

•

PD

=（2-3λ，1-2λ）•（-1-3λ，4-2λ）
=13λ²-13λ+2
當(dāng)λ=

1

2

時(shí)，

PA

•

PD

取得最小值，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

2

，1）
∴△PAD的面積為

1

2

×

1

2

×3=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的運(yùn)算及函數(shù)的最值問(wèn)題，研究最值時(shí)關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)解決．