Question

已知命題p：函數(shù)y=

1

3

x³-

1

2

（m+1）x²+x+m在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；命題q：方程x²-2mx+1=0有實數(shù)根．
（1）若p是真命題，求實數(shù)m的取值范圍； 
（2）若?p為假命題，且p∧q為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：常規(guī)題型,簡易邏輯

分析：（1）p為真命題，則函數(shù)y=

1

3

x³-

1

2

（m+1）x²+x+m在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，只要讓導數(shù)在（-∞，+∞）恒大于等于0即可；
（2）根據(jù)?p為假命題，且p∧q為假命題，分析出p為真命題，q為假命題，然后求出q為假命題的m的范圍和p是真命題的范圍求交集即可．

解答： 解：（1）若p是真命題，
∵函數(shù)y=

1

3

x³-

1

2

（m+1）x²+x+m在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，
∴y′=x²-（m+1）x+1在（-∞，+∞）上大于等于0恒成立，
∴（m+1）²-4≤0
解得：-3≤m≤1
∴p是真命題時實數(shù)m的取值范圍為-3≤m≤1．
（2）若?p為假命題，且p∧q為假命題，
則p為真命題，q為假命題，
由q為假命題，所以方程x²-2mx+1=0無實數(shù)根．
∴4m²-4＜0，解得：-1＜m＜1
∴?p為假命題，且p∧q為假命題時實數(shù)m的取值范圍為-1＜m＜1．

點評：本題考查了復合命題真假的判斷，解題的關(guān)鍵是把復合命題的真假問題轉(zhuǎn)化成單個命題的真假問題解決．