Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b為常數(shù)）滿足f（0）=f（2），方程f（x）=2x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．
（3）當(dāng)m取何值時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）+m在[0，4]上有兩個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（0）=f（2），且f（x）=2x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求出a、b的值，從而得f（x）的解析式；
（2）由（1）中函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求出f（x）在x∈[0，4]時(shí)的最值，即得值域．
（3）由f（0）=4，可得：當(dāng)-m∈（3，4]時(shí)，f（x）=-m在[0，4]上有兩個(gè)根，即f（x）+m=0在[0，4]上有兩個(gè)根，即函數(shù)g（x）=f（x）+m在[0，4]上有兩個(gè)零點(diǎn)．

解答： 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b為常數(shù)）滿足f（0）=f（2），
∴二次函數(shù)f（x）=x²+ax+b的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
故

-a

2

=1，解得：a=-2，
又∵方程f（x）=2x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
即x²-4x+b=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
即△=16-4b=0，
解得：b=4，
∴f（x）=x²-2x+4；
（2）∵函數(shù)f（x）=x²-2x+4的圖象是開口朝上，且以直線x=1為對稱軸的拋物線，
故函數(shù)f（x）在[0，1]上為減函數(shù)，在[1，4]上為增函數(shù)，
故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值3，當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值12，
故當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇3，12]．
（3）由f（0）=4，
故當(dāng)-m∈（3，4]時(shí)，f（x）=-m在[0，4]上有兩個(gè)根，
即f（x）+m=0在[0，4]上有兩個(gè)根，
即函數(shù)g（x）=f（x）+m在[0，4]上有兩個(gè)零點(diǎn)．
故m的取值范圍為（3，4]．

點(diǎn)評：本題考查了求函數(shù)的解析式以及利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求最值，從而得值域的問題，是基礎(chǔ)題．