Question

7．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+1，a，b∈R，當x=-1時，函數(shù)f（x）取到最小值，且最小值為0；
（1）求f（x）解析式；
（2）關(guān)于x的方程f（x）=|x+1|-k+3恰有兩個不相等的實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的對稱軸和函數(shù)的最值，即可求出函數(shù)的解析式，
（2）設(shè)|x+1|=t，t≥0，得到t²-t+k-3=0，由x的方程f（x）=|x+1|-k+3恰有兩個不相等的實數(shù)解，得到關(guān)于t的方程由兩個相等的根或有一個正根，解得即可．

解答 解：（1）x=-1時，函數(shù)f（x）取到最小值，且最小值為0，
∴-$\frac{2a}$=-1，f（-1）=a-b+1=0，
解得a=1，b=2，
∴f（x）=x²+2x+1，
（2）：f（x）=|x+1|-k+3，
∴x²+2x+1=|x+1|-k+3，
即（x+1）²=|x+1|-k+3，
設(shè)|x+1|=t，t≥0，
∴t²-t+k-3=0，
∵x的方程f（x）=|x+1|-k+3恰有兩個不相等的實數(shù)解，
∴關(guān)于t的方程由兩個相等的根或有一個正根，
∴△=1-4（k-3）=0，或$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4（k-3）＞0}\\{k-3＜0}\end{array}\right.$
解得k=$\frac{13}{4}$，或k＜3，
故有k的取值范圍為{k|k=$\frac{13}{4}$，或k＜3}

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵是換元，屬于中檔題．