Question

13．拋物線C：x²=4y，直線l₁：y=kx交C于點A，交準線于點M．過點M的直線l₂與拋物線C有唯一的公共點B（A，B在對稱軸的兩側(cè)），且與x軸交于點N．
（Ⅰ）求拋物線C的準線方程；
（Ⅱ）求S_△AOB：S_△MON的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)拋物線的標準方程求出p的值，寫出它的準線方程；
（Ⅱ）根據(jù)直線方程與拋物線的方程求出點A、B、M、N的坐標，表示出△MON與△AOB的面積，求出S_△AOB：S_△MON的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）如圖所示，
∵拋物線C：x²=4y，
∴p=2，
∴拋物線的準線方程為y=-1；…（4分）
（Ⅱ）不妨設(shè)點A在y軸的左側(cè)，則M（-$\frac{1}{k}$，-1），
設(shè)l₂的斜率為m，
∴它的直線方程為y+1=m（x+$\frac{1}{k}$），
與拋物線方程聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}{y+1=m（x+\frac{1}{k}）}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，
消去y得，x²-4mx+4-$\frac{4m}{k}$=0，…（6分）
∴△=16m²-4（4-$\frac{4m}{k}$）=0，
解得$\frac{1}{k}$=$\frac{1{-m}^{2}}{m}$＜0；…（8分）
∴B（2m，m²），且m＞1；
A（4k，4k²），N（$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{k}$，0），ON=|$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{k}$|=m，
∴△MON的面積為S_△MON=$\frac{1}{2}$m；…（10分）
又點B到l₁的距離為d=$\frac{|2km{-m}^{2}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
OA=4|k|$\sqrt{1{+k}^{2}}$，
∴△AOB的面積為
S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•d=2|k||2km-m²|=$\frac{|2m|{|m}^{2}{+m}^{4}|}{{（1{-m}^{2}）}^{2}}$；…（12分）
∴S_△AOB：S_△MON=$\frac{4{（m}^{2}{+m}^{4}）}{{（1{-m}^{2}）}^{2}}$；
令1-m²=t，（t＜0），
則S_△AOB：S_△MON=8${（\frac{1}{t}-\frac{3}{4}）}^{2}$-$\frac{1}{2}$＞4．…（14分）
∴S_△AOB：S_△MON的取值范圍是（4，+∞）．

點評 本題考查了拋物線的定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，考查了點到直線的距離以及求三角形的面積的應(yīng)用問題，是綜合性題目．