Question

18．已知雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂雙曲線的離心率為e，若雙曲線上一點(diǎn)P使$\frac{sin∠PF{{\;}_{2}F}_{1}}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$=e，Q點(diǎn)為直線PF₁上的一點(diǎn)，且$\overrightarrow{PQ}$=3$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$，則$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$•$\overrightarrow{F{{\;}_{2}F}_{1}}$的值為（　�。�

• A． $\frac{25}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，則由正弦定理可得$\frac{m}{n}$=$\frac{c}{a}$=2，結(jié)合雙曲線的定義，可得m，n，再利用$\overrightarrow{PQ}$=3$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$，結(jié)合余弦定理，利用向量的數(shù)量積公式，求出$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$•$\overrightarrow{F{{\;}_{2}F}_{1}}$的值．

解答 解：設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，則由正弦定理可得$\frac{m}{n}$=$\frac{c}{a}$=2，
∴m=2n，
∵m-n=2，
∴m=4，n=2，
∵$\overrightarrow{PQ}$=3$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$，
∴|$\overrightarrow{PQ}$|=3，|$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$|=1，
△PF₁F₂中，cos∠PF₁F₂=$\frac{16+16-4}{2×4×4}$=$\frac{7}{8}$，
△QF₁F₂中，|QF₂|=$\sqrt{1+16-2×1×4×\frac{7}{8}}$=$\sqrt{10}$，
∴$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$•$\overrightarrow{F{{\;}_{2}F}_{1}}$=$\frac{16+10-1}{2}$=$\frac{25}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義與性質(zhì)，考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．