Question

5．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）對于任意正實數(shù)x，不等式f（x）＞kx-$\frac{1}{2}$恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）是否存在最小的正常數(shù)m，使得：當a＞m時，對于任意正實數(shù)x，不等式f（a+x）＜f（a）•e^x恒成立？給出你的結(jié)論，并說明結(jié)論的合理性．

Answer 1

分析 （1）利用導數(shù)即可求出單調(diào)區(qū)間；
（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為$\frac{（a+x）ln（a+x）}{{e}^{a+x}}$＜$\frac{alna}{{e}^{x}}$，構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{xlnx}{{e}^{x}}$，則問題就是要求g（a+x）＜g（a）恒成立，多次構(gòu)造函數(shù)和求導，利用導數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系，得到存在最小的正常數(shù)m，問題得以解決．

解答 解：（1）∵f（x）=xlnx．
∴f′（x）=1+lnx，
當x∈（0，$\frac{1}{e}$）時，f′（x）＜0；當x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時，f′（x）＞0．
所以函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由于x＞0，f（x）＞kx-$\frac{1}{2}$恒成立，
∴k=lnx+$\frac{1}{2x}$．
構(gòu)造函數(shù)k（x）=lnx+$\frac{1}{2x}$．
∴k′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2{x}^{2}}$=$\frac{2x-1}{2{x}^{2}}$．
令k′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
當x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，k′（x）＜0，當x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時，k′（x）＞0．
∴函數(shù)k（x）在點x=$\frac{1}{2}$處取得最小值，即k（$\frac{1}{2}$）=1-ln2．
因此所求的k的取值范圍是（-∞，1-ln2）．
（3）結(jié)論：這樣的最小正常數(shù)m存在．解釋如下：
f（a+x）＜f（a）•e^x?（a+x）ln（a+x）＜alna）•e^x?$\frac{（a+x）ln（a+x）}{{e}^{a+x}}$＜$\frac{alna}{{e}^{x}}$．
構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{xlnx}{{e}^{x}}$，則問題就是要求g（a+x）＜g（a）恒成立．
對于g（x）求導得 g′（x）=$\frac{lnx+1-xlnx}{{e}^{x}}$．
令h（x）=lnx+1-xlnx，則h′（x）=$\frac{1}{x}$-lnx-1，顯然h′（x）是減函數(shù)．
又h′（1）=0，所以函數(shù)h（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，
而h（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=ln$\frac{1}{{e}^{2}}$+1-$\frac{1}{{e}^{2}}•ln\frac{1}{{e}^{2}}$=-2+1+$\frac{2}{{e}^{2}}$=$\frac{2-{e}^{2}}{{e}^{2}}$＜0，
h（1）=ln1+1-ln1=1＞0，h（e）=lne+1-elne=1+1-e=2-e＜0．
所以函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1）和（1，+∞）上各有一個零點，令為x₁和x₂（x₁＜x₂），
并且有：在區(qū)間（0，x₁）和（x₂，+∞）上，h（x）＜0即g′（x）＜0；
在區(qū)間（x₁，x₂）上，h（x）＞0即g′（x）＞0．
從而可知函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，x₁）和（x₂，+∞）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（x₁，x₂）上單調(diào)遞增．
g（1）=0，當0＜x＜1時，g（x）＜0；當x＞1時，g（x）＞0．還有g(shù)（x₂）是函數(shù)的極大值，也是最大值．
題目要找的m=x₂，理由是：
當a＞x₂時，對于任意非零正數(shù)x，a+x＞a+x₂，而g（x）在（x₂，+∞）上單調(diào)遞減，
所以g（a+x）＜g（a）一定恒成立，即題目所要求的不等式恒成立，
說明m≤x₂；
當0＜a＜x₂時，取x=x₂-a，顯然x＞0且g（a+x）=g（x₂）＞g（a），
題目所要求的不等式不恒成立，說明m不能比x₂�。�
綜合可知，題目所要尋求的最小正常數(shù)m就是x₂，即存在最小正常數(shù)m=x₂，當a＞m時，對于任意正實數(shù)x，不等式不等式f（a+x）＜f（a）•e^x恒成立．

點評 本題主要考查了函數(shù)導數(shù)與單調(diào)性、零點以及不等式的問題，主要是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查計算能力和分析問題的能力，以及分類討論思想，屬于難題．