Question

如圖，曲線Γ：x²+y²=1（x≥0，y≥0）與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)P在曲線Γ上，∠AOP=α．
（Ⅰ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

3

5

，

4

5

），求2cos

α

2

（cos

α

2

+sin

α

2

）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（α）=sin（α-

π

6

）+

3

cos（α-

π

6

）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)，分別求得sinα和cosα的值，最后利用二倍角公式整理所求，代入即可．
（2）利用兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式整理，根據(jù)α的范圍確定函數(shù)的最大和最小值．

解答： 解：（1）依題意知sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，
∴2cos

α

2

（cos

α

2

+sin

α

2

）=2cos²

α

2

+2sin

α

2

cos

α

2

=cosα+sinα+1=

3

5

+

4

5

+1=2．
（2）f（α）=sin（α-

π

6

）+

3

cos（α-

π

6

）=2sin（α-

π

6

+

π

3

）=2sin（α+

π

6

），
∵0≤α≤

π

2

，
∴

π

6

≤α+

π

6

≤

2π

3

∴

1

2

≤sin（α+

π

6

）≤1
∴1≤f（x）≤2，即函數(shù)的值域?yàn)閇1，2]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩角和公式和二倍角公式的化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合掌握．