Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n³-10n²（?n∈N^*）．
（1）求a_n；
（2）求集合{n|a_n＜0，n∈N^*}（用列舉法表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，由此能求出a_n．
（2）方法一：由（1）得an=3n2-23n+11＜0，從而得到

23- 397

2×3

＜n＜

23+ 397

2×3

，由此能求出集合{n|a_n＜0，n∈N^*}．
（2）方法二：設(shè)f（x）=x³-10x²，x∈[1，+∞），利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出集合{n|a_n＜0，n∈N^*}．

解答： 解：（1）n=1時(shí)，a₁=S₁=-9…（1分），
n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n³-10n²-[（n-1）³-10（n-1）²]
=3n²-23n+11，…（5分）
n=1時(shí)，3n²-23n+11=-9，…（6分）
?n∈N^*，an=3n2-23n+11．…（7分）
（2）方法一：由（1）得an=3n2-23n+11＜0，…（8分）

23- 397

2×3

＜n＜

23+ 397

2×3

…（10分）
∵?n∈N^*，∴1≤n≤7，…（12分）
∴所求集合{n|an＜0，n∈N*}={1，2，3，4，5，6，7}．…（13分）
（2）方法二：設(shè)f（x）=x³-10x²，x∈[1，+∞），
則f′（x）=3x²-20x，…（10分）
由f′（x）=3x²-20x＜0，得0＜x＜

20

3

，…（11分）
由0＜n-1＜

20

3

，
?n∈N^*得n=2，3，4，5，6，7…（12分），
a₁=S₁=-9＜0，a₈=S₈-S₇=19＞0，
∴{n|an＜0，n∈N*}={1，2，3，4，5，6，7}．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查集合的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．