Question

如圖，△ABC是等邊三角形，PA⊥平面ABC，DC∥PA，且DC=AC=2PA=2，E是BD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AE⊥BC；
（Ⅱ）求點(diǎn)D到平面PBC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取BC的中點(diǎn)F，連接EF，AF，則EF∥DC，證明BC⊥平面AEF，可得AE⊥BC；
（Ⅱ）利用V_D-PBC=V_B-PCD得點(diǎn)D到平面PBC的距離．

解答： （Ⅰ）證明：取BC的中點(diǎn)F，連接EF，AF，則EF∥DC，…（2分）
∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥BC，則EF⊥BC；
由△ABC是等邊三角形知，AF⊥BC，
∴BC⊥平面AEF，…（4分）
∵AE?平面AEF，∴AE⊥BC．  …（6分）
（Ⅱ）取AC的中點(diǎn)H，連接BH，
∴BH⊥AC，又∵平面PACD⊥平面ABC，
∴BH⊥平面PACD，且BH=

3

；
又PA⊥平面ABC，PA∥DC，DC⊥平面ABC，則，PA⊥AC，…（8分）
由AB=AC=DC=2PA=2知，S_△PCD=

1

2

DC•AC=2，
∴V_B-PCD=

1

3

S_△PCD•BE=

1

3

×2×

3

=

2 3

3

在Rt△PAF中，可求PF=2，S_△PBC=

1

2

BC•PF=2；          …（10分）
設(shè)點(diǎn)D到平面PBC的距離為h，由V_D-PBC=V_B-PCD得：

1

3

 S_△PBC•h=

2 3

3

，∴h=

3

，
即點(diǎn)D到平面PBC的距離為

3

．                         …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．