Question

7．已知f（x）=2cos²x-2$\sqrt{3}$sinxcosx，x∈R
（1）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，f（A）=-1，a=$\sqrt{7}$，且2sinB=3sinC，求邊長(zhǎng)b和c的值．

Answer 1

分析 （1）首先利用倍角公式降冪，再利用兩角差的正弦化積，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由f（A）=-1求得角A，再由余弦定理列關(guān)于a，b的方程，由正弦定理把2sinB=3sinC化為邊的關(guān)系，最后來(lái)了方程組求得答案．

解答 解：f（x）=2cos²x-2$\sqrt{3}$sinxcosx=1+cos2x$-\sqrt{3}sin2x$
=$-2（\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x）+1$=$-2sin（2x-\frac{π}{6}）+1$．
（1）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$．
取k=0，得$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{3}$，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞減區(qū)間為[0，$\frac{π}{3}$]；
（2）由f（A）=-2sin（2A-$\frac{π}{6}$）+1=-1，得sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜A＜π，
∴$-\frac{π}{6}＜2A-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，則2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
又a=$\sqrt{7}$，且2sinB=3sinC，即2b=3c，①
∴由余弦定理得a²=b²+c²-2bc•cosA，
即$7=^{2}+{c}^{2}-2bc•\frac{1}{2}=^{2}+{c}^{2}-bc$，②
聯(lián)立①②得：b=3，c=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，訓(xùn)練了正弦定理及余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．